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Jeder (zumindest in Deutschland oder Europa) kennt das DIN-A-Format. Es begegnet einem überall: als Schreibpapier (DIN-A4 oder DIN-A5), bei Briefumschlägen, Heften, Büchern und anderen Dingen.

Interessant ist, dass dieses Format einem der gebräuchlichsten Wurzel-Rechtecke entspricht - dem Wurzel-2-Rechteck.

Dieser Artikel ist Teil einer Serie, die Bildkomposition unter Nutzung der Dynamischen Symmetrie und der Gestalttheorie behandelt. Teilweise werden Kenntnisse aus den anderen Artikeln vorausgesetzt. Am besten ist es, alle Artikel der Serie zu lesen.

Neben dem DIN-A-Format gibt es noch weitere Formate, die andere Abmessungen, aber trotzdem die gleichen Eigenschaften aufweisen - das sind die B-, C- und D-Formate (siehe Wikipedia-Artikel).

Der Ausgangspunkt für die DIN-A-Formate ist das (Papier-) Bogenformat für A0, das drei Bedingungen erfüllen sollte:

• Der Flächeninhalt des Bogens soll ein Quadratmeter sein (eine willkürliche Festlegung).
• die kleineren Formate ergeben sich aus der flächenmäßigen Halbierung des jeweils größeren Formats
• das Seitenverhältnis der Formate soll immer gleich sein

Während die erste Festlegung willkürlich und eigentlich auch ohne praktische Relevanz erscheint, sind die beiden weiteren Forderungen aus ganz praktischen Gesichtspunkten heraus entstanden. So läßt sich zum Beispiel eine gesetzte Buchseite mit verkleinerten oder vergrößerten Lettern exakt so setzen, wie in einer kleineren oder größeren Variante, also ein ästhetisch gleichwertiges Ergebnis erzielen. Geometrisch handelt es sich hierbei um Ähnlichkeit.
Ebenso kann man Papiere zusammenfalten ohne dass sich das Seitenverhältnis ändert oder man kann auch Papierbögen durchschneiden und damit kleinere Papierbögen erhalten, die trotzdem das gleiche Seitenverhältnis haben - ohne dass Abfall entsteht.

Falls Sie die anderen Artikel der Serie schon gelesen haben, erinnern Sie sich vielleicht an den Abschnitt “Flächenverhältnisse der Wurzel-Rechtecke” im Artikel Wurzel-Rechtecke (Teil 2), in dem ich die Griechen und ihr Verständnis von Ähnlichkeit erwähnt habe - diese haben immer Flächen betrachtet und keine Längen.
Und damit haben wir schon unsere Verbindung von Dynamischer Symmetrie und dem DIN-A-Format.

Das DIN-A-Format (und auch die B-, C-, und D-Formate) sind Wurzel-Rechtecke und zwar Wurzel-2-Rechtecke - ihr Seitenverhältis ist $ 1:sqrt(2) $

Falls Sie zum Beispiel Portraits zeichnen ist das DIN-A-Papier also eine gute Wahl - in der Geschichte der Kunst ist das Wurzel-2-Rechteck ein häufig eingesetztes Format für Portraits.

Mathematische Herleitung des Seitenformats für DIN-A

Ausgangspunkt sind die beiden letzten Festlegungen für das Format

• die kleineren Formate ergeben sich aus der flächenmäßigen Halbierung des jeweils größeren Formats
• das Seitenverhältnis der Formate soll immer gleich sein

Wenn man die Länge der längeren Seite mit a bezeichnet und die Länge der kürzeren Seite mit b, dann gilt: $ a > b $

Das Seitenverhältnis des größeren Bogens ist somit $ a/b $.
Das Seitenverhältnis des kleineren Bogens ist $ b/(a/2) $ (halbierter Bogen).

Ausgehend von der Forderung, dass das Seitenverhältnis gleich sein soll erhalten wir:
$ a/b = b/(a/2) $

Zunächst lösen wir den Doppelbruch auf der rechten Seite auf:
$ a/b = (2 * b)/a $

Um die Brüche aufzulösen multiplizieren wir mit a und b:
$ a^2/b = (2 * b) $ und danach $ a^2 = (2 * b^2) $
In der letzten Formel können Sie das weiter oben erwähnte Flächen-Verhältnis sehr gut erkennen - wir haben zwei Flächen (dargestellt durch die Quadrat-Angaben) und die stehen im Verhältnis eins zu zwei. Erinnern Sie sich noch daran, dass ich in der Einleitung auch erwähnt habe, dass die alten Griechen immer Flächen-Ähnlichkeiten bzw. Flächen-Verhältnisse betrachtet haben? Hier können Sie gut sehen, wie ein kompliziertes Seitenverhältnis wie $ 1:sqrt(2) $ sich wunderbar zu einem einfachen Flächenverhältnis auflöst.

Weiter mit unserer Formel:

Um zunächst einmal eine Variable einzeln zu erhalten ziehen wir aus beiden Seiten die Wurzel:
$a = sqrt(2 * b^2) $

Die rechte Seite läßt sich auch vereinfachen, indem wir aus jedem Faktor des Produkts einzeln die Wurzel ziehen:
$ a = sqrt(2) * b $

Das sieht ja jetzt schon recht einfach aus. Da uns eigentlich das Seitenverhältnis interessiert, dividieren wir beide Seiten der Gleichung durch b:
$ a/b = sqrt(2) $

Herleitung vollständig - das DIN-A-Format hat das gleiche Seitenverhältnis wie ein Wurzel-2-Rechteck. Also ist auch jedes Stück Papier, das dem DIN-A-Format (oder B-, C-, D-) entspricht, ein Wurzel-2-Rechteck!

Berechnung der A0-Größe

Wenn wir einmal so schön dabei sind, können wir auch noch das A0-Format berechnen, indem wir die erste Forderung (1 Quadratmeter) hinzuziehen:
$ a * b = 1000000mm^2 $ und $ a = b * sqrt(2) $

Ersetzen wir a auf der linken Seite der Gleichung durch den Ausdruck der zweiten Gleichung:
$ (b * sqrt(2)) * b = 1000000mm^2 $ leicht umgestellt ergibt:
$ b^2 * sqrt(2) = 1000000mm^2 $

Um nur noch eine Variable (b) auf der linken Seite zu haben, dividieren wir beide Seiten durch die Wurzel aus Zwei:
$ b^2 = (1000000mm^2) / sqrt(2) $

Und da wir nur an b interessiert sind, ziehen wir aus beiden Seiten der Gleichung die Wurzel:
$ b = sqrt( (1000000mm^2) / sqrt(2) ) $

Diese Formel läßt sich leicht ausrechnen und ergibt:
$ b = 841mm $

Auch a läßt sich nun mit der zweiten Formel vom Anfang leicht bestimmen:
$ a = 841mm * sqrt(2) = 1189mm $

Damit haben wir unser A0-Format: 1189 Millimeter auf der längeren Seite und 841 Millimeter auf der kürzeren Seite.

Die gleiche Rechnung für DIN-A4:
A4 erhalten wir indem wir einen A0-Bogen viermal halbieren. Die Fläche ist also $ (1000000mm^2) / (2 * 2 * 2 * 2) = 62500mm^2$

$ a * b = 62500mm^2 $ und $ a = b * sqrt(2) $

$ (b * sqrt(2)) * b = 62500mm^2 $

$ b^2 * sqrt(2) = 62500mm^2 $

$ b^2 = (62500mm^2) / sqrt(2) $

$ b = sqrt( (62500mm^2) / sqrt(2) ) $

$ b = 210mm $

$ a = 210mm * sqrt(2) = 297mm $

Damit haben wir unser A4-Format: 297 Millimeter auf der längeren Seite und 210 Millimeter auf der kürzeren Seite.

Falls Sie Interesse an Dynamischer Symmetrie gefunden haben, schauen Sie wieder mal rein!